Studiehandleiding 8: de casuistiek

de modellen
de formules
(voor de animaties en simulaties)

Hier vinden jullie informatie over de modellen zoals jullie die kunnen gebruiken voor de dynamische onderdelen voor jullie werkstuk. Er zijn twee soorten modellen: modellen die bestaan uit gewone formules die gewoon zijn uit te rekenen door een computer en wiskundige modellen die bestaan uit stelsels (eerste orde) differentiaal vergelijkingen. Die zijn moeilijker uit te rekenen op een computer. De computer heeft dan de methode van Euler nodig om dit soort modellen stap voor stap - en bij benadering - uit te rekenen. De ene soort noemen we wiskundige modellen; die zijn voor jullie 'simulaties' en de andere soort algebraische formules, die zijn voor jullie 'animaties'. Het verschil en de overeenkomst tussen animatie en simulatie kennen jullie.

Let op dat de wiskundige modellen en de formules niet in javascript zijn opgeschreven. Dat dienen jullie zelf te kunnen en zelf te doen. Dat is een onderdeel van de opdracht. Let er verder op dat hoofdletters en kleine lettters in javascript en/java een andere betekenis kunnen hebben, maar het hoeft niet. Voor het model maakt het ons niet uit welke letters, welke identifier je gebruikt voor wat. Verder nog een tip: met copy en paste kun je in de tekst van van deze web-page - zonder typefouten te maken - al heel veel overnemen. Neem in ieder geval het wiskundige model op deze manier in je html-file over. Het scheelt werk en ellende. Het model is speciaal in bold in onderstaande tekst gezet.

Algebraische formules voor animaties

Op het practicum mag je gebruik maken van de volgende formules:

F1. Waterbak

Waarbij hoogte = y = f(t).

F2. Planeetbaan

Waarbij x = f(t); y = f(t).

F3. Kogelbaan

Waarbij afstand = x = f(t); hoogte = y = f(t).

F4. Stuiterend balletje

Waarbij hoogte = y = f(t).

Voor alle gegevens en betekenissen van de variabelen en/of de parameters zie achterin de gedrukte practicumhandleiding.

Wiskundige modellen voor simulaties

Wiskundige modellen zijn stelsels eerste orde differentiaal vergelijkingen. Er bevindt zich altijd minimaal een eerste orde differentiaal vergelijking in een dergelijk wiskundig model. Zo'n differentiaal vergelijking ziet er altijd als volgt uit:

Deze differentiaalvergelijkingen worden - middels de methode van Euler - in de vorm van integraal vergelijkingen geschreven, in Java of javascript; en zo'n stelsel vergelijkingen worden dan in een repeat-loop (tot een bepaalde waarde bijvoorbeeld een maximale 'rekentijd') (Tmax) doorgerekend. In de repeat-loop wordt de tijd (t) steeds een heel klein beetje opgehoogd (met een 'delta tijd') (dt). Modellen bevatten dan altijd minstens één statement dat er zo uitziet:

Waarbij dy/dt een gewone variabele is, namelijk de 'toename van y' per tijdstap. En die toename in de tijd is in principe een (willekeurige) functie van een aantal willekeurige variabelen, bijvoorbeeld x(t), y(t) en z(t) en derhalve aangeduidt door

We geven die variabele 'dy/dt' meestal gewoon één herkenbare naam, hier gewoon 'dydt'.

Kijk maar in de onderstaande voorbeelden. Daar worden de differentiaal vergelijkingen in takt gelaten. De differentiaal vergelijkingen worden als integralen gebruikt en als integraal ('cummulatief') (en altijd in een loop) berekend.

Bij de opdrachten in het practicum mag je gebruik maken van de volgende wiskundige modellen:

M1. Cascade model (met vijf verschillende waterhoogtes):

Neem hierbij de volgende parameters en startwaarden van variabelen:
K1 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 1
K2 = 0.5; de 'doorlating' van kraan 2
K3 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 3
K4 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 4
N1 = 1.0; (de startwaarde van) het waternivo in bak1
N2 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak2
N3 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak3
N4 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak4
N5 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak5
Error = 0; (de startwaarde van) de rekenfout (met de methode van Euler)
dt = 0.03; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmax = 10.0 (tijdseenheden)
Tmin = 0.0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M2. Ecologie model (van aantallen prooi- en roof-dieren)

Neem hierbij de volgende startwaarden en parameters
NB =135; (de startwaarde van) het aantal prooidieren (buit) [aantal/km2]
NR =53; (de startwaarde van) het aantal roofdieren [aantal/km2]
SR = 7.0
SB = 0.3
GR = 0.06
GB = 15.0
K = 50.0
dt = 0.03; de stapgrootte (jaar)
Tmin = 4.0 (jaar)
Tmax = 0 (jaar)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M3. Aorta model (aangaande de bloeddruk)

Neem hierbij de volgende parameters, programmagegevens en startwaarden:
VAO = 80.0 (ml)
PAO = 80.0 (mmHg)
F = 1.0
QAO = 80.0 (ml/sec)
QP = 70.0 (ml/sec)
PLV = 0.0 (mmHg)
RP = 1.25
CAO = 1.1
PLVmax = 120.0
dt = 0.02 (sec)
Tmin = 0 (sec)
Tmax = 4.0 (sec)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M4. Elastische stuiterende indeukbare bal (hoogte en snelheid)

Neem hierbij de volgende programmagrootheden, startwaarden en parameters:
x = 0.9; de starthoogte
v = 0.0; de startsnelheid
t = 0.0; de tijd
g = 9.8; de versnelling van de zwaartekracht
K = 1000; de veerconstante
W = 10; de wrijving met de grond
M = 1.0; de massa
R = 0.1; de straal van de bal
dt = 0.004; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmin = 5.0 (tijdseenheden)
Tmax = 0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M5. Kogelbaan (afstand en hoogte)

Neem hierbij de volgende parameters en startwaarden en programma gegevens
x = 0; de startwaarde v.d. afstand (t.o.v het vertrekpunt)
y = 0; de startwaarde v.d. hoogte
vx = 35; de (start-)snelheid (v) in x-richting
vy = 50; de (start-)snelheid (v) in y-richting
ay = 9.8; de versnelling van de zwaartekracht (g)
R = 0.3; de luchtweerstand
dt = 0.1; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmin = 0.0 (tijdseenheden)
Tmax = 3.0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

Enschede, 6 dec. 99.