Hier vinden jullie informatie over de modellen en de applets zoals jullie die kunnen gebruiken voor de dynamische onderdelen voor jullie werkstuk (in de vorm van ascii-tekst). Er zijn twee soorten modellen: modellen die bestaan uit gewone formules die gewoon zijn uit te rekenen door een computer en wiskundige modellen die bestaan uit stelsels differentiaal vergelijkingen. Die zijn moeilijker uit te rekenen op een computer en ook voor de gebruiker veel onoverzichtelijker. De computer heeft een speciale reken-methode nodig, de methode van Euler, om de output-variabelen van dit soort modellen stap voor stap uit te kunnen rekenen. De ene soort noemen we een (wiskundig) model; die gebruiken we hier voor de model-driven simulaties. De andere soort noemen we gewoon een (algebraïsche) formule. De gewone, overzichtelijke formules gebruiken we hier voor de formula-driven animaties. De verschillen en overeenkomsten tussen (model-driven) animatie en simulatie kennen jullie. De applets zijn kant en klare, her te gebruiken programma's (in de vorm van class-files).

Let op dat de wiskundige modellen en de formules niet in javascript zijn opgeschreven. Dat dienen jullie zelf te kunnen en zelf te doen. Dat is een onderdeel van de opdracht. Let er verder op dat hoofdletters en kleine lettters in javascript en/java een andere betekenis kunnen hebben, maar het hoeft niet. Voor het model maakt het ons niet uit welke letters, welke identifier je gebruikt voor wat. Verder nog een tip: met copy en paste kun je in de tekst van van deze web-page - zonder typefouten te maken - al heel veel overnemen. Neem in ieder geval het wiskundige model op deze manier in je html-file over. Het scheelt werk en ellende. Het model is speciaal in bold in onderstaande tekst gezet.

Formules voor de animaties

Op het practicum mag je gebruik maken van de volgende (algebraïsche) formules F1, F2, F3 of F4:

F1. Waterbak

y = 10.0*exp(-k*t)

Waarbij hoogte = y = f(t).

F2. Planeetbaan

x = sin(2*3.14*t)
y = 0.5*cos(2*3.14*t)

Waarbij x = f(t); y = f(t).

F3. Kogelbaan

x = v0*t*cos(a)
y = v0*t*sin(a) + C - g*t*t/2

Waarbij a de hoek is waaronder de kogel wordt afgevuurd; x is de afstand die de kogel t.o.v. het startpunt heeft in zijn baan; y is de hoogte van de kogel t.o.v. de grond; v0 is de beginsnelheid.

F4. Stuiterend balletje

y = 10*abs(cos(2*3.14*t)) * exp(-a*t)

Waarbij hoogte = y = f(t).

Voor verdere informatie aangaande alle gegevens en betekenissen van de variabelen en/of de parameters: zie de gegevens die je kreeg bij het tekenen van het contract.

Wiskundige modellen voor simulaties

dy/dt = f(x,y,z,t)...

Deze differentiaalvergelijkingen worden - middels de methode van Euler - in de vorm van integraal vergelijkingen geschreven, in Java of javascript; en zo'n stelsel vergelijkingen worden dan in een repeat-loop (tot een bepaalde waarde bijvoorbeeld een maximale 'rekentijd') (Tmax) doorgerekend. In de repeat-loop wordt de tijd (t) steeds een heel klein beetje opgehoogd (met een 'delta tijd') (dt). Modellen bevatten dan altijd minstens één statement dat er zo uitziet:

y = y + (dy/dt)*dt.

Waarbij dy/dt een gewone variabele is, namelijk de 'toename van y' per tijdstap. En die toename in de tijd is in principe een (willekeurige) functie van een aantal willekeurige variabelen, bijvoorbeeld x(t), y(t) en z(t) en derhalve aangeduidt door

f(x,y,z,t). 

We geven die variabele 'dy/dt' meestal gewoon één herkenbare naam, hier gewoon 'dydt'.

y = y + dydt*dt.

Kijk maar in de onderstaande voorbeelden. Daar worden de differentiaal vergelijkingen in takt gelaten. De differentiaal vergelijkingen worden als integralen gebruikt en als integraal ('cummulatief') (en altijd in een loop) berekend.

Bij de opdrachten in het practicum mag je gebruik maken van de volgende wiskundige modellen M1, M2, M3, M4 of M5:

M1. Cascade model (met vijf verschillende waterhoogtes):

t = t+dt
dN1dt = - K1 * N1 - K3 * N1
dN2dt = - K2 * N2 + K1 * N1
dN3dt = + K2 * N2
dN4dt = - K4 * N4 + K3 * N1
dN5dt = + K4 * N4
N1 = N1 + dN1dt * dt
N2 = N2 + dN2dt * dt
N3 = N3 + dN3dt * dt
N4 = N4 + dN4dt * dt
N5 = N5 + dN5dt * dt
Error =1.0 - (N2 + N3 + N4 + N5)

Neem hierbij de volgende parameters en startwaarden van variabelen:
K1 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 1
K2 = 0.5; de 'doorlating' van kraan 2
K3 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 3
K4 = 1.0; de 'doorlating' van kraan 4
N1 = 1.0; (de startwaarde van) het waternivo in bak1
N2 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak2
N3 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak3
N4 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak4
N5 = 0; (de startwaarde van) het waternivo in bak5
Error = 0; (de startwaarde van) de rekenfout (met de methode van Euler)
dt = 0.03; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmax = 10.0 (tijdseenheden)
Tmin = 0.0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M2. Ecologie model (van aantallen prooi- en roof-dieren)

t = t+dt
dNBdt = GB * NB - SB * NB * NR - (NB * NB)/K
dNRdt = GR * NR * NB - SR * NR
NB = NB + dNBdt * dt
NR = NR + dNRdt * dt

Neem hierbij de volgende startwaarden en parameters
NB =135; (de startwaarde van) het aantal prooidieren (buit) [aantal/km2]
NR =53; (de startwaarde van) het aantal roofdieren [aantal/km2]
SR = 7.0
SB = 0.3
GR = 0.06
GB = 15.0
K = 50.0
dt = 0.03; de stapgrootte (jaar)
Tmin = 4.0 (jaar)
Tmax = 0 (jaar)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M3. Aorta model (aangaande de bloeddruk)

t = t+dt
PLV = PLVmax * sin (2 * 3.14 * F * t)
if (PLV < 0.0) then PLV = 0.0
QAO = 33.0 * (PLV - PAO)
if ((PLV - PAO) < 0) then QAO = 0.0
VAO = VAO + (QAO - QP) * dt
QP = PAO / RP
PAO = VAO / CAO

Neem hierbij de volgende parameters, programmagegevens en startwaarden:
VAO = 80.0 (ml)
PAO = 80.0 (mmHg)
F = 1.0
QAO = 80.0 (ml/sec)
QP = 70.0 (ml/sec)
PLV = 0.0 (mmHg)
RP = 1.25
CAO = 1.1
PLVmax = 120.0
dt = 0.02 (sec)
Tmin = 0 (sec)
Tmax = 4.0 (sec)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M4. Elastische stuiterende indeukbare bal (hoogte en snelheid)

t = t + dt
dxdt = v
if x<= R then dvdt = - g - (W * v + K * (x - R))/M else dvdt = - g
x = x + dxdt * dt
v = v + dvdt * dt

Neem hierbij de volgende programmagrootheden, startwaarden en parameters:
x = 0.9; de starthoogte
v = 0.0; de startsnelheid
t = 0.0; de tijd
g = 9.8; de versnelling van de zwaartekracht
K = 1000; de veerconstante
W = 10; de wrijving met de grond
M = 1.0; de massa
R = 0.1; de straal van de bal
dt = 0.004; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmin = 5.0 (tijdseenheden)
Tmax = 0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

M5. Kogelbaan (afstand en hoogte)

t = t + dt;
vx = vx - vx * R * dt
vy = vy - vy * R * dt - ay * dt
x = x + vx * dt
y = y + vy * dt

Neem hierbij de volgende parameters en startwaarden en programma gegevens
x = 0; de startwaarde v.d. afstand (t.o.v het vertrekpunt)
y = 0; de startwaarde v.d. hoogte
vx = 35; de (start-)snelheid (v) in x-richting
vy = 50; de (start-)snelheid (v) in y-richting
ay = 9.8; de versnelling van de zwaartekracht (g)
R = 0.3; de luchtweerstand
dt = 0.1; de stapgrootte (tijdseenheden)
Tmin = 0.0 (tijdseenheden)
Tmax = 3.0 (tijdseenheden)
Kleine of grote afwijkingen kunnen problemen veroorzaken. Dat is dan geheel en al voor eigen risico.

Interactieve complexe applets

A1. het interactieve cardiovasculaire systeem van de mens: CARDIO

t = t+dt
AP = 100 (gemiddelde arteriele bloeddruk)
HR = 70 (hartfrequentie)
UO = 1 ml/min (urine-output)
CO = 5000 ml/min (cardiac output c.q. hartminuutvolume)

Neem hierbij de volgende interventiemogelijkheden in acht:
Drinken = 1 ml/min (WIN)
Hartfunctie = 1.0 (=100%) (HSB)
Nierfunctie = 1.0 (=100%) (RM)
Diureticum = 0 (=0%) (DI)
Digitalis = 0 (=0%) (DIGI)

Zie web-site deel II, par. 18.

A2. de interactieve zonneboiler: BOILER

t = t+dt
T1 = 10 graden Celcius; is de temperatuur in segment 10 (bovenin)
T2 = 10 graden Celcius; is de temperatuur in segment 5 (waar de collector in binnen komt)
T10 = 10 graden Celcius; is de temperatuur in segment 1 (onderin)
zon = de warmte die de zon uitstraalt (in joules)

Neem hierbij de volgende interventiemogelijkheden in acht:
De buiten-temperatuur = 10 graden
De reflectie-coefficient van de collector = ...
De flow door de primaire pomp 1 (in liters per minuut?) = ... (staat normaal half open)
De flow door secundaire pomp 2 (in liters per minuut?) = 0.0 (is normaal dicht)

Zie web-site deel II, par. 18.

A3. de interactieve transistor schakeling: TRANSISTOR

t = t+dt
ui = input wisselspanning
uo = output wisselspanning
UO = gelijkspanning aan de uitgang
UC = gelijkspanning op de collector van de transitor
UB = gelijkspanning op de basis van de transitor
URE = gelijkspanning over de weerstand RE
ic = wisselstroom door de collector en de weerstand RC

Neem hierbij de volgende interventiemogelijkheden in acht:
R1 = de weerstand R1
R2 = de weerstand R2
RE = de weerstand RE (bij de emitor)
RC = de weerstand RC (bij de collector)

Zie web-site deel II, par. 18.

Let op:

Je dient zelf al deze formules en modellen nog goed in javascript-code om te zetten. Dat moge duidelijk zijn...

Meer (en vaak zelfs essentiele) informatie over de modellen en de formules is te vinden in de bijbehorende gedrukte practicumhandleiding van dit vak. Daar vind je onder meer de bijbehorende conceptuele schema's en de 'ranges' waarbinnen de variabelen en de parameters van het model nuttig en zinvol worden geacht te zijn.

Enschede, 16 nov. 2000